Durata E Convessità Investopedia Forex

SMONTAGGIO convessità Come aumento dei tassi di interesse, i rendimenti dei titoli aumenta e, di conseguenza, i prezzi delle obbligazioni diminuiscono. Al contrario, come i tassi di interesse scendono, i rendimenti obbligazionari scendono e salgono i prezzi delle obbligazioni. Nella figura di esempio mostrato sopra, Bond A ha una convessità superiore di Bond B, il che indica che tutto il resto sia uguale, Bond A avrà sempre un prezzo più elevato rispetto di Bond B i tassi di interesse aumentare o diminuire. Convessità e convessità rischio è una migliore misura del rischio di tasso di interesse, in relazione alla durata, perché il concetto di durata presuppone che i tassi di interesse e dei prezzi delle obbligazioni hanno una relazione lineare. Durata può essere una buona misura di quanto i prezzi delle obbligazioni possono essere influenzati a causa di piccole e repentine fluttuazioni dei tassi di interesse. Tuttavia, il rapporto tra i prezzi delle obbligazioni e dei rendimenti è in genere più inclinato, o convessa. Pertanto, la convessità è una misura migliore per valutare l'impatto sui prezzi delle obbligazioni quando ci sono grandi fluttuazioni dei tassi di interesse. Come convessità aumenta, il rischio sistemico a cui il portafoglio è esposto aumenta. Come convessità diminuisce, l'esposizione ai tassi di interesse di mercato diminuisce e del portafoglio obbligazionario può essere considerato oggetto di copertura. In generale, maggiore è il tasso coupon. minore è la convessità (o rischio di mercato) di un legame. Questo è perché i tassi di mercato dovrebbero aumentare notevolmente per superare il coupon sul legame, il che significa che c'è meno rischio per l'investitore. Negativo e Positivo convessità Se un bond di durata aumenta come aumentare le rese, il legame è detto di avere convessità negativa. In altre parole, la forma del legame è detto essere concava. Pertanto, se un legame ha convessità negativo, il suo prezzo aumenterebbe di valore come i tassi di interesse salgono, e il contrario è vero. Alcuni esempi di obbligazioni che presentano convessità negativa sono obbligazioni con una disposizione chiamata tradizionale, obbligazioni privilegiate e la maggior parte dei titoli garantiti da ipoteca (MBS). Se una durata obbligazioni si alza e rendimenti cadere, il legame si dice che abbia convessità positiva. Se un titolo ha convessità positiva, sarebbe tipicamente sperimentare aumenti dei prezzi più grandi se i rendimenti scendere rispetto al prezzo diminuisce quando i rendimenti aumentano. Le tipologie tipiche di obbligazioni con convessità positiva sono legami con disposizioni di chiamata make-whole e obbligazioni non callable. In condizioni normali di mercato, maggiore è il tasso cedolare, il più basso un grado legami di convessità. Di conseguenza, le obbligazioni zero coupon hanno il più alto grado di convessità, perché non offrono alcuna payments. Duration coupon e prezzi convexity cambiano inversamente con tassi di interesse, e, di conseguenza, non vi è rischio di tasso di interesse con le obbligazioni. Un metodo di misurazione del rischio di tasso di interesse a causa di variazioni dei tassi di interesse di mercato è da un approccio completo di valutazione. che semplicemente calcola quello che i prezzi delle obbligazioni sarà se il tasso d'interesse è cambiato da importi specifici. L'approccio completa valutazione si basa sul fatto che il prezzo di un legame è pari alla somma del valore attuale di ciascun pagamento coupon più il valore attuale del pagamento principale. Che il valore attuale di un pagamento futuro dipende dal tasso di interesse è ciò che provoca i prezzi delle obbligazioni a variare con il tasso di interesse, pure. Bond Value valore attuale dei pagamenti promozionali valore attuale del Valore nominale Un altro metodo per la misurazione del rischio di tasso di interesse, che è meno computazionalmente intensive, è quello di calcolare la durata di un legame, che è la media ponderata del valore attuale dei pagamenti obbligazioni. Di conseguenza, la durata è a volte indicato come la scadenza media o la durata effettiva. Più lunga è la durata, la più lunga è la scadenza media, e, di conseguenza, maggiore è la sensibilità alle variazioni dei tassi di interesse. Graficamente, la durata di un legame può essere immaginato come un'altalena cui fulcro è posizionato in modo da bilanciare il peso dei valori attuali dei pagamenti e la quota capitale. Matematicamente, durata è 1 ° derivata della curva di prezzo-rendimento, che è una linea tangente alla curva al punto di prezzo-rendimento corrente. Anche se la durata effettiva si misura in anni, è più utile per interpretare durata come strumenti per confrontare i rischi di tasso di diversi titoli. I titoli con la stessa durata hanno la stessa esposizione al rischio di tasso di interesse. Per esempio, dal momento che le obbligazioni zero coupon pagano solo il valore nominale a scadenza, la durata di uno zero è uguale alla sua maturità. Ne consegue anche che qualsiasi vincolo di una certa durata avrà una sensibilità ai tassi di interesse pari a un prestito obbligazionario zero coupon con scadenza pari alla durata obbligazioni. La durata è spesso interpretato come la variazione percentuale del prezzo obbligazioni per un piccolo cambiamento nel suo rendimento a scadenza (YTM). Non dovrebbe essere sorprendente che esiste una relazione tra la variazione nel prezzo legame e la variazione nella durata quando cambia rendimento, in quanto sia il legame e la durata dipendono dai valori attuali dei flussi obbligazioni di cassa. Infatti, esiste una relazione molto semplice tra i due: quando cambia YTM da 1, le variazioni di prezzo legame per la durata convertiti in una percentuale. Così, per esempio, il prezzo di un legame con una durata di 10 anni cambierebbe con 10 per 1 variazione del tasso di interesse. Macaulay Durata prima del 1938, era ben noto che la scadenza di un'obbligazione influenzato il suo rischio di tasso di interesse, ma si sapeva anche che le obbligazioni con la stessa scadenza potrebbero differire ampiamente a variazioni di prezzo con i cambiamenti a cedere. D'altra parte, le obbligazioni zero coupon sempre esposti allo stesso rischio di tasso di interesse. Pertanto, Frederick Macaulay motivato che una migliore misura del rischio di tasso di interesse è quello di considerare un titolo a tasso come una serie di obbligazioni a tasso zero, in cui ogni pagamento è una zero-coupon bond ponderata per il valore attuale del pagamento diviso per il prezzo dell'obbligazione . Quindi, la durata è la durata effettiva di un legame, che è per questo che si misura in anni. Non solo è possibile la durata Macaulay misurare la durata effettiva di un legame, può anche essere usato per calcolare la durata media di un portafoglio di titoli a reddito fisso. Di conseguenza, la durata ha diverse proprietà semplici: la durata è proporzionale alla scadenza dell'obbligazione, dal momento che il rimborso del capitale è il più grande flusso di cassa del vincolo e viene ricevuto durata scadenza è inversamente proporzionale al tasso di buono, dal momento che ci sarà un più grande differenza tra i valori attuali per i pagamenti precedenti oltre il valore minore per tutta la durata rimborso del capitale diminuisce con l'aumentare della frequenza di pagamento, dal momento che la metà del valore attuale dei flussi di cassa ricevuto prima che con i pagamenti meno frequenti, ed è per questo coupon bond sempre avere una durata più breve rispetto zeri con la stessa scadenza. La durata Macaulay è calcolata entro il 1 ° calcolando la media ponderata del valore attuale (PV) di ogni flusso di cassa al tempo t con la seguente formula: CF t (1 anno) T Bond Prezzo Come si può vedere, i prezzi delle obbligazioni come calcolato usando durata Macaulay è molto vicino al prezzo calcolato con i valori attuali dei flussi di cassa, quando la variazione del tasso di interesse è piccolo. Infatti, quando arrotondato, i valori sono uguali. Si noti che nell'esempio precedente, se la resa era cambiato da 1 invece di 0,1, allora il prezzo legame può semplicemente essere moltiplicato per la durata convertito in una percentuale dal 1 2.820 0,0282 2.82. La regolazione durata è una buona approssimazione per piccole variazioni dei tassi di interesse. Tuttavia, la durata cambia così, che viene misurata per la convessità legami (descritto più avanti). Poiché la durata cambia anche, grandi cambiamenti dei tassi di interesse produrranno grandi discrepanze tra il prezzo legame effettivo e il prezzo calcolato utilizzando durata. Durata media Durata si misura in anni, in modo che non misura direttamente la variazione dei prezzi delle obbligazioni rispetto alle variazioni di rendimento. Tuttavia, il rischio di tasso di interesse può essere facilmente paragonato confrontando la durata delle obbligazioni o portafogli diversi. duration modificata, invece, fa misurare la sensibilità delle variazioni di prezzo legame con variazioni di rendimento. In particolare: D Mac Macaulay Durata dPP piccola variazione di prezzo del titolo dy piccolo cambiamento nel rendimento rendimento y alla scadenza numero k di pagamenti all'anno Modified Formula Durata Così stessa stregua variazione del prezzo dell'obbligazione calcolato per esempio 2 sopra per i rendimenti duration modificata: dPP dy. 27 0.1 2.7 2.82 (1 62) 2.82 1.03 Macaulay Durata (1 yk) legame Prezzo Variazione produrre un cambiamento Modified duration prezzo così per l'esempio precedente: legame Prezzo Variazione 0,1 2,7 97.05 0.26 il calcolo di cui sopra si differenzia da solo un centesimo dalla differenza reale di 0,27 calcolato utilizzando il valore attuale dei flussi di cassa, che è notevolmente inferiore alla differenza 0,28 calcolato utilizzando durata Macaulay. Così, la duration modificata produce una più accurata variazione di prezzo di durata Macaulay, ma, come quest'ultimo, è valida solo quando la variazione di resa è piccolo e il cambiamento resa non altererà il flusso di cassa del legame, come si può verificare, per esempio, se la variazione di prezzo per un legame callable aumenta la probabilità che si chiamerà. Naturalmente, i tassi di interesse di solito cambiano solo a piccoli passi, quindi la durata è uno strumento efficace per misurare il rischio di tasso di interesse. Durata e Formule modified duration per le obbligazioni che utilizzano Microsoft Excel modificata MDURATION Durata (liquidazione, scadenza, cedola, rendimento, frequenza, base) Data di Regolamento in citazioni di insediamento. Data di scadenza tra virgolette quando scadenza dell'obbligazione. Coupon nominale tasso di interesse annuo coupon. Resa rendimento annuo a scadenza. Frequenza Numero di pagamenti di cedole per anno. 1 2 semestrale base conteggio Day annuale di 4 base trimestrale. 0 30360 (base Stati Uniti). Questa è l'impostazione predefinita se la base viene omesso. 1 actualactual (numero effettivo di giorni in monthYear monthYear). 2 actual360 3 actual365 4 europeo 30360 1. ExampleCalculating Duration modificata utilizzando Microsoft Excel Calcolare la durata e la duration modificata di un bond a 10 anni il pagamento di una cedola di 6. un rendimento a scadenza di 8. e con una data di regolamento di 112008 e maturità data di 12.312.017. Durata Durata (quot 112008 quot, quot 12.312.017 quot, 0,06. 0,08, 2) 7.45 Modified duration MDURATION (quot 112008 quot, quot 12.312.017 quot, 0,06. 0,08, 2) 7.16 Nota che ha modificato durata è sempre un po 'meno la durata, dal momento che la duration modificata è la durata diviso per 1 più la resa per periodo di pagamento. Convessità aggiunge un termine per la durata finanziaria modificata, rendendola più precisa, tenendo conto di cambiamento nella durata come il changeshence rendimento, la convessità è la derivata 2 ° della curva dei prezzi rendimento al punto di prezzo-rendimento corrente. Si noti che la curva di prezzo-resa è convessa, e che la durata modificata è la pendenza della retta tangente ad un particolare rendimento di mercato, e che la differenza tra la curva prezzo-resa e le modificati aumenta la durata con maggiori variazioni del tasso di interesse . Si può facilmente vedere che i cambiamenti durata modificati come le variazioni dei rendimenti perché è ovvio che l'inclinazione della linea cambia con rese diverse. Il divario tra la durata finanziaria modificata e la curva dei rendimenti prezzo-convessa è la regolazione di convessità, che, come si può facilmente constatare è maggiore al rialzo che al ribasso. Anche se la durata si può mai essere negativo, la convessità può rendere negativo, dal momento che ci sono alcuni titoli, come ad esempio alcuni titoli garantiti da ipoteca che presentano convessità negativa. il che significa che il legame cambia nel prezzo nella stessa direzione delle variazioni dei rendimenti. Durata Efficace per Obbligazioni Opzione Embedded Poiché la durata dipende dalle medie ponderate del valore attuale dei flussi di cassa obbligazioni, un semplice calcolo per la durata non è valida se il cambiamento di rendimento potrebbe risultare in un cambiamento del flusso di cassa. modelli di valutazione devono essere utilizzati per calcolare nuovi prezzi per cambiamenti nel rendimento quando il flusso di cassa viene modificato da opzioni. La durata effettiva (aka durata opzione-adjusted) è la variazione dei prezzi delle obbligazioni a cambio della resa, quando la variazione di resa può causare diversi flussi di cassa. Per esempio, per un legame callable, il legame non sarà superare il prezzo delle chiamate quando i tassi di interesse scendono perché l'emittente può chiamare il legame indietro per il prezzo delle chiamate, e probabilmente farlo se i tassi scendono. Poiché i flussi finanziari possono cambiare, la durata effettiva di un legame opzione-embedded è definito come la variazione di prezzo del titolo per ogni variazione del tasso di interesse di mercato: Efficace differenziale Durata Formula tasso di interesse i Portfolio Durata Durata è uno strumento analitico efficace per la gestione del portafoglio titoli di reddito fisso perché fornisce una scadenza media del portafoglio, che, a sua volta, fornisce una misura del rischio di tasso di interesse per il portafoglio. La durata di un portafoglio obbligazionario è pari alla media ponderata della durata per ogni tipo di legame in portafoglio: valore di mercato wi di Bond I valore di mercato di duration del portafoglio D i di Bond I numero K di obbligazioni in portafoglio da misurare meglio il esposizione ai tassi di interesse di un portafoglio, è meglio misurare il contributo del problema o del settore durata per tutta la durata del portafoglio piuttosto che misurare il valore di mercato di tale questione o settore al valore del portafoglio: portfolio durata contributo peso di rilascio nel Portfolio Durata di Rilascio Tip investimento: ridurre al minimo il rischio Durata quando i rendimenti sono bassi, gli investitori, che sono avversi al rischio, ma che vogliono guadagnare un rendimento più elevato, spesso acquistare obbligazioni con durate più lunghe, dal momento che le obbligazioni a lungo termine pagano tassi di interesse più elevati. Ma anche i rendimenti dei titoli a lungo termine sono solo marginalmente superiore a titoli a breve termine, perché le compagnie di assicurazione e fondi pensione, che sono i principali acquirenti di obbligazioni, sono limitate alle obbligazioni investment grade, in modo che fanno salire i prezzi, costringendo i rimanenti Gli acquirenti dei titoli di far salire il prezzo dei titoli spazzatura. diminuendo così il loro rendimento anche se hanno rischio più elevato. In effetti, i tassi di interesse possono anche diventare negativa. Nel mese di giugno 2016, il bond tedeschi a 10 anni, noto come il Bund, sfoggiava tassi di interesse negativi più volte, quando il prezzo del titolo in realtà ha superato il suo principale. I tassi di interesse variano continuamente dall'alto verso il basso ad alto in un ciclo senza fine, in modo da acquistare obbligazioni a lunga durata quando i rendimenti sono bassi aumenta la probabilità che i prezzi delle obbligazioni sarà inferiore se i legami sono venduti prima della scadenza. Questo è talvolta chiamato rischio di duration. Anche se è più comunemente conosciuto come il rischio di tasso di interesse. Rischio di durata sarebbe particolarmente grande per l'acquisto di obbligazioni con tassi di interesse negativi. D'altra parte, se le obbligazioni a lungo termine sono detenute sino alla scadenza, allora si può essere richiesto un costo opportunità, guadagnando basse rese, quando i tassi di interesse sono più alti. Pertanto, soprattutto quando i rendimenti sono estremamente basse, come sono stati a partire dal 2008 e continuando anche nel 2016, è meglio acquistare obbligazioni con durate più brevi, soprattutto quando la differenza dei tassi di interesse tra i portafogli di lunga durata e portafogli di breve durata è inferiore alla media storica. D'altra parte, l'acquisto di obbligazioni di lunga durata hanno senso quando i tassi di interesse sono alti, dal momento che non solo guadagna l'alto interesse, ma si può anche realizzare una rivalutazione del capitale, se si vende quando i tassi di interesse sono più bassi. La durata è solo un'approssimazione della variazione del prezzo del titolo. Per le piccole variazioni di rendimento, è molto preciso, ma per i più grandi cambiamenti di rendimento, si sottovaluta sempre i prezzi delle obbligazioni che ne derivano per obbligazioni non callable, opzione-libera. Questo perché la durata è una linea tangente alla curva prezzo-yield al punto calcolato, e la differenza tra la linea tangente durata e le prezzo-rendimento curva aumenta come le mosse resa più lontano in una direzione dal punto di tangenza. Un diagramma della convessità del 2 portafogli obbligazionari rappresentativi. Convessità è il tasso che le modifiche durata lungo la curva di prezzo rendimento, e, quindi, è il 1 ° derivata l'equazione per la durata e il 2 derivata l'equazione per la funzione prezzo-rendimento. Convessità è sempre positivo per le obbligazioni di vaniglia. Inoltre, la curva di prezzo-rendimento appiattisce a tassi di interesse più elevati, per cui convessità è di solito più al rialzo che al ribasso, in modo che la variazione assoluta di prezzo per una data variazione nella resa sarà leggermente maggiore quando i rendimenti diminuiscono invece di aumentare. Di conseguenza, le obbligazioni con una maggiore convessità avranno maggiori plusvalenze per un determinato calo dei rendimenti rispetto ai corrispondenti perdite di capitale che potrebbero verificarsi quando i rendimenti aumentano di pari importo. Alcune proprietà aggiuntive di convessità sono i seguenti: aumenta convessità come rendimento alla scadenza diminuisce, e viceversa. Convessità diminuisce a rendimenti più elevati, perché la curva del prezzo rendimento appiattisce a rendimenti più elevati, in modo duration modificata è più preciso, che richiede regolazioni convessità più piccoli. Questo è anche il motivo per cui convessità è più positivo verso l'alto che verso il basso. Tra le obbligazioni con lo stesso rendimento a scadenza e la lunghezza termine, obbligazioni a cedola inferiori hanno una convessità più alto, con obbligazioni a tasso zero con il più alto convessità. Questo si traduce perché tagliandi più bassi o non buoni hanno la più alta volatilità dei tassi di interesse. così duration modificata richiede un aggiustamento di convessità più grande in modo da riflettere il più elevato variazione di prezzo per una data variazione dei tassi di interesse. Convessità è calcolata dalla seguente equazione: y cambiamento del tasso di interesse in forma decimale. Come si può vedere nella Formula convessità Regolazione 2 che la convessità è diviso per 2, in modo da utilizzare le 2s Formula insieme produce lo stesso risultato utilizzando i 1s Formula insieme. Per aggiungere ulteriore alla confusione, a volte entrambe le formule di misura convessità sono calcolati moltiplicando il denominatore per 100, nel qual caso, i corrispondenti formule di regolazione convessità sono moltiplicati per 10.000 invece di 100 Basta tenere a mente che i valori di convessità, calcolata con varie calcolatrici su Internet può dare risultati differenti per un fattore di 100. possono essere tutti corretti se la formula regolazione convessità corretto viene utilizzato convessità è di solito un termine positivo indipendentemente dal fatto che il rendimento è in aumento o in diminuzione, quindi, è una convessità positiva. Tuttavia, a volte il termine di convessità è negativo, come ad esempio si verifica quando un bond callable si sta avvicinando il suo prezzo delle chiamate. Qui di seguito il prezzo delle chiamate, la curva del prezzo-yield segue lo stesso convessità positiva come un titolo privo di opzione, ma come il rendimento scende e il prezzo sale a legame vicino al prezzo delle chiamate, la convessità positivo diventa negativo convessità. dove il prezzo del titolo è limitata superiormente da prezzo chiamata. Quindi, simili ai termini di duration modificata ed efficace, vi è anche modificato convessità. che è la convessità misurato quando non vi è alcun cambiamento atteso dei flussi di cassa futuri, e convessità efficace. che è la misura di convessità per un vincolo per il quale sono previsti flussi di cassa futuri di cambiare. Durata per Basis Point Prezzo di mercato Bond A volte la volatilità dei prezzi delle obbligazioni ai tassi di interesse è calcolato come il valore assoluto della variazione del prezzo Basis Point Value (BPV) modificato quando le variazioni dei tassi di interesse di 1 punto base (0,01), che è chiamato il valore del punto base (BPV) aka valore del prezzo di un punto base (PVBP), valore in dollari di un 01 (DV01). BPV prezzo prezzo iniziale se i cambiamenti di rendimento di 1 punto base (nota Math:. L'espressione denota il valore assoluto di) Anche se i prezzi delle obbligazioni aumentano di più quando i rendimenti declino che diminuire quando i rendimenti aumentano, un cambiamento nella resa di 1 punto base è considerato così piccolo che la differenza è trascurabile. Dal momento che la duration modificata è la variazione approssimativa nel prezzo bond per un cambiamento di 100 punti base di rendimento, il valore del prezzo di un punto base è 1 della variazione di prezzo previsto da duration modificata. Ricordiamo che: Variazione del prezzo di mercato Resa variazione percentuale Duration modificata Prezzo di mercato del legame così la variazione di prezzo per ogni variazione di un punto base del rendimento di mercato è: Basis Punteggio formula modificata Durata 100 Esempi: calcolo del prezzo Variazione di un Basis Point Variazione Resa un dato mercato Durata prezzo da Bond 1.000 BPV 0,0745 0,01 1.000 0,75 prezzo di mercato 900 BPV 0,0745 .01 900 0.67 Rendimento Volatilità (Interest rate volatilità) Durata dà una stima del rischio di tasso di interesse di un particolare legame mettendo in relazione la variazione del prezzo alla variazione del rendimento, ma né la durata né convessità dà un quadro completo del rischio di tasso di interesse in quanto i rendimenti dei titoli possono anche cambiare a causa dei cambiamenti del rischio di insolvenza, come evidenziato dalle variazioni dei rating dell'emittente oa causa di alterazioni negative l'economia che può aumentare il rischio di insolvenza di molte imprese. Per esempio, degli Stati Uniti del Tesoro hanno generalmente tassi promozionali più bassi e rendimenti attuali rispetto alle obbligazioni societarie con scadenze simili a causa della differenza di rischio di default. Pertanto, il Ministero del Tesoro degli Stati Uniti dovrebbe avere una durata superiore a quello delle obbligazioni societarie, e, quindi, variazione di prezzo di più quando i tassi di interesse di mercato cambiano. Tuttavia, i cambiamenti nella percezione del rischio di default possono anche cambiare i prezzi delle obbligazioni, ottundimento o aumentando quale durata potrebbe prevedere. Per esempio, durante la recente crisi dei mutui subprime, molti legami sono stati percepiti come più rischiosi di investitori realizzati, anche quelli che avevano ricevuto rating superiore dalle agenzie di rating, e così molti titoli, in particolare quelli basati sui mutui subprime, ha perso valore, aumentando notevolmente i loro rendimenti, mentre i rendimenti dei Treasuries sono scesi come la domanda di questi titoli, che sono considerati senza rischio di default, è aumentato di prezzo causato, non per il calo dei tassi di interesse di mercato, ma dalla fuga verso la qualità vendita di titoli rischiosi per comprare titoli con poco o nessun rischio di default. La fuga verso la qualità è aumentata dal fatto che le leggi ed i regolamenti richiedono che i fondi pensione e altri fondi che si tengono per il bene degli altri a titolo fiduciario essere investiti solo in titoli investment grade. Così, quando rating di investimento diminuiscono per un gran numero di titoli al di sotto dell'investment grade, gestori di fondi detenuti in custodia devono vendere i titoli più rischiosi e comprare titoli che possono mantenere un rating investment grade o essere libero di inadempienza Riskin maggior parte dei casi, del Tesoro USA . Pertanto, la volatilità dei rendimenti, e di conseguenza, il rischio di tasso di interesse, è maggiore per i titoli con più rischio di default, anche se la loro durata sono gli stessi. Privacy Policy Per thismatter cookie vengono utilizzati per personalizzare i contenuti e gli annunci, per fornire funzionalità di social media e di analizzare il traffico. L'informazione è condivisa anche sull'utilizzo di questo sito con i nostri social media, pubblicità e partner di analisi. Dettagli, incluse le opzioni di opt-out, sono previste nelle Norme sulla privacy. 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